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TOCANADA BUSNESS - Math de la semaine
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Corrigé de la semaine en mathématiques
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Sujet
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Le tableau suivant donne le nombre de clients du téléphone mobile en France atteint à la fin de chaque année.
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Année
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1998
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1999
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2000
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2001
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2002
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2003
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2004
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2004
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Rang de l'année xi
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0
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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Nombre de clients en millions yi
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11,2
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20,6
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29,7
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37,0
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39,6
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41,7
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44,5
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48,0
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Source : ARCEP observatoire des mobiles
Une représentation du nuage de points (xi, yi) est donnée dans l'annexe, à rendre avec la copie.
Le point G est le point moyen du nuage.
Partie A
On souhaite réaliser un ajustement affine.
1. Déterminer une équation de la droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés.
(Arrondir les cœfficients au centième).
À partir des calculs ci-dessus, on décide de réaliser un ajustement affine à l'aide de la droite D d'équation y = 4,9x + 16,7.
2. Tracer la droite D sur le graphique de l'annexe, à rendre avec la copie.
3. En supposant que ce modèle reste valable pour 2006 et 2007, prévoir le nombre de clients pour la fin de l'année 2007. Indiquer la méthode utilisée.
Partie B
On admet qu'un autre ajustement du nuage de points est obtenu à l'aide d'une partie de la représentation graphique C de la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 9] par
1. Recopier et compléter le tableau suivant (arrondir au dixième).
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x
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0
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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f(x)
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19,6
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27,3
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2. Tracer l'allure de la courbe C sur le graphique de l'annexe à rendre avec la copie.
Dans la suite, on suppose que ce modèle reste valable jusqu'à la fin de l'année 2008.
3. Donner, selon ce modèle, le nombre de clients pour la fin de l'année 2007.
4. Indiquer si selon ce modèle on peut envisager de dépasser au cours de l'année 2008 le nombre de 52 millions de clients. Expliquer la démarche conduisant à cette réponse.
Clients du téléphone mobile :
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Corrigé
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I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET
L'Utilisation d'une calculatrice est nécessaire pour déterminer l'équation de la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés et pour remplir un tableau de valeurs.
II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE
- Ajustement affine par la méthode des moindres carrés ;
- Modèle exponentiel.
III - LES RESULTATS
Partie A
1. y = 4,95x + 16,72
2. Voir graphique.
3. 60,8 millions de clients.
Partie B
1.
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x
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0
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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f(x)
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13
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19,6
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27,3
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34,8
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40,9
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45,2
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48,1
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49,8
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50,7
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51,3
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2. Voir graphique.
3. 51,3 millions de clients.
4. Le nombre de 52 millions de clients ne peut pas être dépassé au cours de l'année 2008.
IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES
Partie A
1. L'équation de la droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés est : y = 4,95x + 16,72.
2) Voir graphique.
3) y = 4,9x + 16,7.
Pour 2007 il faut remplacer x par 9. La prévision est donc : 4,9 × 9 + 16,7 soit 60,8 millions de clients.
Partie B
1.
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x
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0
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
|
9
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F(x)
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13
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19,6
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27,3
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34,8
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40,9
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45,2
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48,1
|
49,8
|
50,7
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51,3
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2. Voir graphique.
3. Selon ce modèle le nombre de clients pour la fin de l'année 2007 est : 51,3 millions de clients.
4. Il suffit de calculer f(10)
f(10) ≈ 51,6
On ne peut donc pas dépasser au cours de l'année 2008 le nombre de 52 millions de clients car ce nombre est de 51,6 en fin 2008.
Clients du téléphone mobile
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